Диссипативное преобразование пекаря

Рубрика : 3 курс

Диссипативное преобразование пекаря

Как известно, отображения, сохраняющие площдь, могут демонстрировать хаотическое поведение. В данной работе было рассмотрено преобразование пекаря, являющееся нелинейным отображением единичного квадрата на себя. Оно представляет собой математическую запись операций раскатывания и складывания теста, часто применяемых пекарями (отсюда и название). Консервативное отображение пекаря записывается в виде:

Диссипативное преобразование пекаря(1)

где фигурные скобки обозначают взятие дробной части, а квадратные – целой. Отображение (1) переводит точку с координатами (x, y), лежащую в единичном квадрате, в точку с координатами (x', y'). На рис. 1 показано несколько последовательных шагов применения отображения (1) к единичкому квадрату, левая половина которого первоначально закрашена чёрным цветом, а правая – светло-серым (рис. 1 (а)). Количество полос удваивается на каждом шаге, а их ширина сокращается в два раза. При многократном повторении квадрат выглядит однородным (рис. 1 (е)).

Если значения переменных x и y выразить в двоичной форме, преобразование пекаря будет выражаться в том, что цифры в записи координаты x будут сдвигаться на один знак влево, а в записи координаты y – на один знак вправо, а самая левая цифра из дробной части координаты x окажется самой левой цифрой дробной части координаты y, например, точка с координатами (x0=0.10110001, y0=0.01110100) перейдёт в точку (x1=0.0110001…, y1=0.10111010…).

Теперь считаем, что первоначальный разрез теста производится в соотношении α к β, α + β = 1 (рис. 3 (а)). Затем обе части растягиваются вдоль оси x до единичной длины и сжимаются вдоль оси y так, что их высоты будут μ и ν соответственно, μ + ν < 1 (рис. 3 (б)). В этом случае общая площадь получившихся после преобразования прямоугольников меньше площади исходного квадрата, это отображение является диссипативной системой с двумерным фазовым пространством (диссипативное преобразование пекаря) и имеет вид:

для image002 x≤ α,

x > α.

image003

(2)

1

Рис. 1. Действие преобразования пекаря при числе итераций: а) n=0, б) n=1, в) n=2, г) n=3, д) n=5, е) n=7.

2

Рис. 2. Орбиты точки при преобразовании пекаря: а) цикл периода 2 (x0=2/3, y0=1/3), б) цикл периода 6 (x0=2/9,y0=4/9), в) цикл периода 3 (x0=2/7, y0=1/7), г) цикл периода 10 (x0=0,(45), y0=0,(56)) ,д) цикл периода 8 (x0=0,(12), y0=0,(23)), е) хаотическая орбита (произвольно выбранная точка вблизи периодической орбиты x0=2/3, y0=1/3).

3

Рис. 3. Действие диссипативного преобразования пекаря (2) при числе итераций: а) n=0, б) n=1, в) n=2, г) n=4 при значении параметров ?=0.4, ?=0.6, ?=0.4, ?=0.2.

При нескольких последовательных итерациях появляется характерная система полос (рис. 3 (в)) с общей площадью (μ + ν)n (n – число итераций), при n → ∞ превращающаяся в канторову пыль (рис. 3 (г)).

Библиографический список

  1. М. Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. – Ижевск: НИЦ «регулярная и хаотическая динамика»,2001,528 стр.
  2. Г. Шустер. Детерминированый хаос: Введение: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 240 с., ил.
  3. С.П. Кузнецов. Динамический хаос (курс лекций): Учеб. Пособие для вузов. 2-е изд. перераб. и доп. — М.: Из-во физико-математической литературы, 2006. – 356 с. – ISBN 5-94052-100-2.

Хотите получать материалы на e-mail?