Лекция по синергетике №3

Рубрика : Восемь лекций по синергетике

функция численности хищников будет следовать за функцией  численности  жертв со сдвигом p /2

Лекция 3.

Динамические системы и устойчивость.

«И волки сыты и овцы целы...»

«Не зная броду, не суйся в воду»

/ Народные присказки /

В 1925г. итальянский математик Вито Вольтерра услышал от своего приятеля,  зоолога по профессии, о том, что в годы первой мировой войны и сразу же после нее, когда  интенсивность  промысла рыб в Адриатическом море резко сократилась, на рыбных рынках возросла доля хищных рыб. Этот факт показался математику не случайным. В  1931г.  увидела  свет  его работа « Математическая теория борьбы за существование»...

Пусть на  ограниченном пространстве сосуществуют два вида животных. Один,  условно  называемый  «хищники»,  питается   только представителями другого вида. Другой — соответственно, «жертвы» — имеет определенные запасы пищи, не привлекающей хищников.

image001

(3.01)

Уравнение динамики можно записать для численностей каждого из видов Nх и Nж :

Аналитическое решение в общем случае сложно.  Результат  численного решения будет представлен позднее, а сейчас попробуем силы в анализе.  До какой-то степени это похоже на задачу  о  рыболовстве. Найдем стационарное состояние, при котором первые производные обращаются в ноль:

image003

image002

(3.02)

Получаем:

Nх1* = 0;  Nж1* = 0 — это тривиальное решение.

Nх2*= eж /aж;  Nж2*= eх /aх

(3.03)

— это  уже  интереснее,  система может существовать в равновесии.  Жизнь каждого из видов поддерживается и зависит от параметров противоположного вида.  Рассмотрим поведение системы вблизи стационарного состояния.

Пусть населенности этих видов чуть отличаются от стационарных:

Nх = N*х +p , Nж =Nж+v

Подставим эти значения в исходные уравнения (3.01) и учтем соотношения (3.03):

image004

image005

(3.05)

полученные уравнения линейны, и использованная здесь процедура преобразования  нелинейных уравнений в линейные при малых возмущениях системы от известных значений решения называется линеаризацией.

Сравнив с уравнением для пружинного маятника:

Пружинный маятник

image007

(2.02)

видим, что  полученное  уравнение  практически совпадает с уже известным — роль координаты маятника X выполняет здесь численность хищников p, а роль скорости маятника V — величина image008 , пропорциональная численности жертв.

Следовательно, и поведение системы будет похожим — в системе возбуждаются гармонические колебания!  Численности видов при небольших  отклонениях от равновесия будут изменяться периодически, причем, функция численности хищников будет следовать за функцией  численности  жертв со сдвигом p /2 ( Рис. 3.1).

Приведем теперь результаты численного решения системы уравнений (3.01) для случая произвольных возмущений на фазовой плоскости Nх — Nж ( Рис.3.2).

В центре фазового портрета, вблизи равновесного положения — полученные только что решения. Это малые колебания. При немалых возмущениях  система проявляет нелинейность — колебания перестают быть гармоническими и видно, что даже  небольшие  изменения начальных условий или малые вмешательства в систему приводят с течением  времени к  большим изменениям  в  данной  системе. На рисунке показано, как в области I мы «помогли» жертвам — чуть уменьшили численность хищников и перевели развитие системы  на чуть более низкую траекторию.

Через некоторое  время  система попала в область II, где численность хищников  резко увеличилась, а численность жертв стала совсем малой. Не вмешивайтесь в нелинейную систему, если не знаете ее особенностей!

Интересно, что предложенная В. Вольтерра динамическая модель  в основных чертах совпала с моделью, предложенной для описания физико-химических процессов в смеси реагирующих по сходным законам веществ уже другим ученым А.Д. Лотткой (1926г). Впоследствии рассмотренная нами модель получила название модель Вольтерра-Лоттки.

Рассмотренная нами модель очень схематична.  Вот основные претензии к ней:

1. Предполагалось, что все явления происходят одновременно и одинаково во всех точках реального пространства,  а это так же, как если бы мы считали процесс происходящим в одной точке. В дальнейшем будет показано, к чему приводит учет пространственной неоднородности и как производится этот учет.

2. Жертвы и хищники взрослеют и размножаются с разными периодами; и тех и других ждет смерть от старости, а не только от недоедания. Это учесть, безусловно, можно.

3. В области обитания могут оказаться и другие виды,

реальная картина развития популяций в сообществе "рысь - заяц" в районе Гудзонова пролива в Сев. Америке в течение 50-ти лет (1850 - 1900), по данным наблюдений одной из охотничьих компаний.

для которых наши хищники являются уже жертвами. Это возражение серьезно, требуется введение новых переменных и новых уравнений, однако путь анализа уже ясен. Тем не менее, рассмотренная модель подтверждается в случае «чистого» выполнения условий ее постановки. В качестве примера на Рис.3.3 приведена реальная картина развития популяций в сообществе «рысь — заяц» в районе Гудзонова пролива в Сев. Америке в течение 50-ти лет (1850 — 1900), по данным наблюдений одной из охотничьих компаний.

Видно подтверждение основных результатов анализа -  периодичность (9...10  лет)  и  сдвиг  фаз — здесь он составляет примерно 1 год вместо 4...5 лет согласно теории малых колебаний,  но и колебания здесь довольно значительные.  Интересно,  что даже примитивная модель выявляет основные черты поведения реальной системы.

4. В модели полностью отсутствует учет ограниченности жизненных ресурсов у жертв. Ограничение скоростей роста по сути очень похоже на введение вязкого трения в  модели  физического  маятника  и следует ожидать что фазовые траектории станут незамкнутыми и начнут скручиваться.  Эти  моменты  стоит  обсудить подробнее — чуть позднее мы вернемся к этому.

Для того, чтобы калейдоскоп интересных примеров послужил более глубокому пониманию процессов в нелинейных системах, обратимся к другим сторонам теории. А именно, к теории устойчивости. Пока мы не развивали эту тему, хотя и отмечали эффекты устойчивости и неустойчивости в рассмотренных примерах и обратили внимание на полезность такого знания. Далее в нашем изложении важность этих знаний возрастает.

Общий метод анализа характера устойчивости системы.

Системы, описываемые одним уравнением первого порядка.

Пусть дана динамическая система:

dx/dt = f (x)

(3.06)

Стационарные состояния определяются как решения уравнения

f (x*) = 0

(3.07)

несколько характерных вариантов поведения функции f(x) вблизи нуля.

Рис.3.4

На Рис.3.4 представлены несколько характерных вариантов поведения функции f (x) вблизи нуля.  В первом случае функция проходит через ноль,  имея отрицательное значение первой  производной,  во втором -  положительное,  а  на третьем графике изображены случай нулевой производной с касанием нулевого значения и без  такового.

Последний случай  соответствует отсутствию решения,  а,  следовательно и отсутствию у системы стационарного состояния;  Этот случай пока не представляет для нас интереса.

Пусть система немного отклонилась от состояния равновесия  x* и перешла в состояние

x = x* + ξ ( ξ < <  x ).

(3.08)

Если функция  дифференцируема  достаточное  количество   раз, вблизи x*, то она допускает разложение в ряд Тейлора:

f (x) = f (x*) + f '(x*)× ξ + ...

(3.09)

Подставив это  разложение в исходное уравнение для динамической системы (3.06), получим:

image012

или, введя обозначение f ' (x*) = a1 и проделав преобразования:

image013

Ограничившись линейным членом разложения в правой части,  получаем линеаризованное уравнение:

d ξ /dt = a1× ξ ,

легко решаемое методом разделения переменных:  ξ (t) = С × exp (a1 × t). (3.10)

Если a1 < 0 , то  ξ (t) =С × exp ( — λ× ξ t ) , здесь | λ | =  a1 .

Видно, что в этом случае с течением времени величина x уменьшается, т.е. величина x стремится к своему стационарному значению.  На Рис.3.4 это соответствует поведению функции f (x) на первом  графике.  Значит, при a1 < 0 стационарное значение устойчивое.

При a1 > 0 получаем,  нарастание отклонения от положения равновесия и, соответственно, неустойчивое поведение системы.

При a1 = 0 величина  ξ не изменяется со временем,  но, помня  о том, что мы рассмотрели только линеаризованное решение, следует провести анализ с учетом следующих членов разложения функции f (x), т.е. для утверждения об устойчивости необходим дополнительный анализ.

Таким образом,  в целом ряде случаев об устойчивости системы можно судить по знаку производной f '(x*) – правой части линейного уравнения — вблизи стационарной точки. Идея использования линеаризованного уравнения принадлежит А.М. Ляпунову.

Для любой конкретной системы функция f (x) определяется  параметрами системы. Так, в модели Ферхюльста (см. Л.1) мы имели:

image014

(см. 1.05)

Здесь целых два параметра k и Nm определяют поведение  системы. А в модели рыболовства:

N / =  N - N2 γ × N (см. 1.10)

параметр g определял коэффициент доли вылавливаемой рыбы.

Т.о., если знак производной определяет характер  устойчивости системы, то это означает, что при одних значениях параметров система может быть устойчивой,  а при других может наступить переход от устойчивого характера поведения к неустойчивому — в общем случае от одного режима к другому. Изменение характера поведения динамической системы  на  большом временном интервале при изменении значений управляющего параметра называют бифуркацией. В соответствии  с приведенными соображениями намечается следующий путь исследования системы. После нахождения условий стационарности следует  проанализировать выражение для x* как функцию параметров системы или одного из интересующих нас параметра.

Самое  подходящее для  этого нарисовать диаграмму зависимости x* от этого параметра - бифуркационную диаграмму,  которая покажет как  изменяется  качественный  характер  поведения системы по полю своих параметров.

Рассмотрим пример такого анализа.

Культиватор (жизнь колонии бактерий).

Это может быть жизнь колонии бактерий численностью n на питательном растворе в чашке Петри,  в котором бактерии размножаются, гибнут и пополняются волей экспериментатора.  А можно интерпретировать эту модель и как жизнь примитивного города,  в котором жители живут, умирают, в который они приезжают и из которого уезжают, если условия ухудшаются.  Напишем уравнение,  смысл которого, пожалуй, после нескольких предыдущих примеров, достаточно прозрачен:

dn / dt = a — b × n + γ × n2 (3.11)

Здесь параметр a есть скорость притока населения культиватора, параметр b определяет скорость оттока населения, а параметр   γ — скорость размножения. Примем для простоты  γ = 1 это будет очень простая модель. Можете сами ее затем усложнить.

С целью выяснения устойчивых состояний, обратимся к анализу функции этой системы  f (n) = a — b × n +   n2

по только что разобранной схеме.  Стационарных состояний два:

image015

(3.12)

image016

Рис.3.5

Пусть управляющим параметром будет a.  Изобразим бифуркационную диаграмму n (a ) — это парабола (Рис.3.5).

При  a > b 2/4 стационарных состояний нет.

На диаграмме это область А.

При   a = b 2/4 имеется одно состояние, изображаемое точкой В.

При   a < b 2/4 таких состояний два. Им отвечают две ветви С и D.

Исследуем обе ветви на устойчивость, помня, что для устойчивой ветви функция f (n) имеет отрицательную производную f '(n*).

Здесь эта производная имеет вид:

f '(n*) = 2× n — b

Подставив значение n* = n1* (со знаком «плюс»), видим, что f '(n1*) > 0 — состояние на ветви С неустойчивое. Культиватор вымирает.

А на ветви D при значении n* = n2* (со знаком «минус») производная f '(n2*) положительна — значит, если стационарная заселенность соответствует значению n* — меньшему, чем величина  b /2 , то культиватор (или город) развивается устойчиво и при малом возмущении своей численности восстанавливает равновесное значение.

image017

Рис 3.6

В теории катастроф — разделе математики, занимающейся проблемой устойчивости решений уравнений на поле параметров — утверждается, что если полином f (x) имеет степень по x большую, чем 1, то бифуркационная диаграмма может иметь несколько ветвей.  Например, для полинома третьей степени она может быть такой (Рис 3.6):

Теперь уже ясно, что ветви А и С — устойчивы, а ветвь В неустойчивая. Это означает, что при плавном  уменьшении параметра a от больших  значений  к малым, развитие системы будет идти по ветви А до точки D.

Незначительное дальнейшее  уменьшение параметра приводит к катастрофе 1 — система скачком  переводится на ветвь С. Катастрофа 2 ждет систему при развитии  системы по  ветви С, если параметр плавно увеличивается. Наличие  катастроф — резкого  переключения динамической системы из одного устойчивого режима работы  в другой, также устойчивый, режим при небольшом изменении управляющего параметра — характерное свойство некоторых нелинейных систем.

Важно ,  что для таких систем  интерпретация  каждого  нового состояния подразумевает  знание  предыдущей  их истории развития. Описание системы,  претерпевающей бифуркации включает и  детерминистический и вероятностные элементы, так как в окрестности точек бифуркации существенную роль играют флукутуации и  именно  они  «выбирают» ветвь, которой далее  будет следовать система. Для этих систем нельзя точно указать ход их эволюции — можно лишь предсказать вероятность возможных сценариев развития.

Если система управляется двумя параметрами, то теория показывает, что возможны только два типа катастроф (Рис.3.7 и 3.8).

image017image018

Рис.3.7
Рис.3.8

Катастрофа первого типа — «складка» — характерна для триггерных  систем.  Катастрофа второго типа называется «сборка» — здесь возможны как траектории без перескока, с плавным развитием, так и со скачком в развитии. Так, например, имеются исследования касающиеся развития интеллектуальных способностей у человека,  в которых сборка соответствует бифуркации типа  «гениальность  -  идиотизм». И, действительно, такое иногда случается, например, с возрастом. К счастью, не у всех.

Системы, описываемые двумя уравнениями первого порядка.

Такие системы,  как Вы помните из предыдущей лекции, сводятся к одному  уравнению  второго  порядка  и соответствуют одномерным движениям. Примером может служить маятник или экологическая  система «хищник — жертва».

image019

image020

(3.13)

Рассуждая по  аналогии  с анализом модели,  описываемой одним уравнением, найдем стационарные точки:

P (x*, y*) = 0;               Q (x*, y*) = 0 (3.14)

Для исследования устойчивости вблизи малых отклонений

x = x* + e ;           y = y * + m (3.15)

линеаризуем систему,  используя разложения функций в ряд Тейлора.

Тогда, введя обозначения

a = Px / (x*, y*) и b = Py / (x*, y*)

c = Qx / (x*, y*) и d = Qy / (x*, y*) (3.16)

получим:

d ξ / dt = a× ξ + b × μ ,

d μ / dt = c× ξ + d × μ ,                           (3.17)

Для решения этой системы можно использовать подстановку Эйлера

x = А× exp ( λ × t ), μ = B × exp ( λ × t) (3.18)

которая сводит дифференциальные уравнения к алгебраическим:

λ ×А = a× А + b × B;

λ × B = c × А + d × B

Нетривиальное решение этой системы относительно λ определяется условием равенства нулю главного определителя:

λ2 — (a + d) × λ + (a × d — b × c) = 0

Отсюда:

image021

Как видно, знак корня зависит от значений параметров a,b,c,d.

Однако, эти четыре параметра могут быть сведены в две группы:

s = a+d и D = a× d — b × c. (3.20)

Тогда

image022

(3.21)

и теперь знаки корней можно определить по виду диаграммы, отражающей зависимость  дискриминанта  уравнения (3.21) от значений параметров  s и   D (Рис.3.9). Корни могут быть комплексные λ = λ r + λ i .

Отрицательная действительная часть λ r < 0 соответствует решению (3.18) с убывающей экспонентой — устойчивому состоянию. Положительное значение λ r >0 определяет неустойчивое состояние.  Мнимая часть  λ i определяет тип аттрактора.  На рисунке изображены  шесть типов: центр,  устойчивый и неустойчивый узлы, устойчивый и неустойчивый фокусы и седло.  Система с двумя уравнениями значительно богаче предыдущей. А если взять три уравнения, четыре...?


Хотите получать материалы на e-mail?