От порядка к хаусу

Рубрика : 4 курс, Хаос

Компьютерный практикум к курсу «Динамический хаос: от порядка к хаосу»
для студентов 4 курса специальности «физика открытых нелинейных систем»
факультета нелинейных процессов

Задачи настоящего практикума направлены на исследование основных сценариев перехода к хаосу в нелинейных динамических системах.

1. Переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода

а) (3 балла) Для логистического Xn+1=1-l*(Xn)^2 отображения  продемонстрируйте скейлинг на бифуркационном дереве в окрестности точки x=0.

б) (4 балла) Продемонстрируйте скейлинг на графике ляпуновского показателя логистического отображения в окрестности точки перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.

в) (5 баллов) Реализуйте процедуру вычисления значений параметра, отвечающих сверхустойчивым циклам различных периодов логистического отображения (l0=0, l1=1, l2=1.3106...). Для вычисления начального приближения для lk используйте предыдущие значения lk–1, lk–2 и закон сходимости Фейгенбаума. Подбор параметра, обеспечивающего попадание точки из x0=0 опять в ноль за N=2k итераций, реализуйте численно. Получив несколько значений lk, проверьте закон сходимости Фейгенбаума. Предполагая, что он справедлив при k®¥, найдите с максимально возможной точностью критическое значение параметра lс.

2. Переход к хаосу через перемежаемость

а) (2 балла) Пронаблюдайте переход к хаосу через перемежаемость в логистическом Xn+1=1-l*(Xn)^2 отображении  при выходе из окна периода 3 в сторону уменьшения параметра l (начните с l=1,76, граница окна 1,75). Для этого постройте графики зависимости динамической переменной x от дискретного времени n и пронаблюдайте их эволюцию при изменении параметра l. Укажите ламинарные и турбулентные стадии.

б) (3 балла) Исследуйте зависимость ляпуновского показателя от параметра вблизи точки перехода к хаосу через перемежаемость в логистическом отображении.

в) (5 баллов) Составьте программу для автоматического подсчета длительности ламинарных стадий и продемонстрируйте, что характерная длительность ламинарных стадий растет при приближении к критической точке по степенному закону. Оцените показатель степени и сравните с теоретическим значением.

3. Переход к хаосу через разрушение квазипериодических движений

а) (2 балла) Постройте карту динамических режимов и карту ляпуновских показателей для отображения окружности

Xn+1=Xn+Ω+(K/2Π) Sin (2ΠXn)(mod 1)

Укажите области периодических, квазипериодических и хаотических режимов. Постройте соответствующие итерационные диаграммы.

б) (4 балла) Постройте график зависимости ляпуновского показателя отображения окружности от параметра Ω вдоль критической линии K=1. Продемонстрируйте на этом графике скейлинг в окрестности точки Ωc=0,60666….

в) (4 балла) Постройте так называемую «чертову лестницу», дающую зависимость числа вращения от параметра Ω. Обсудите эволюцию ее структуры при увеличении параметра K от 0 до 1. Продемонстрируйте на ней скейлинг в окрестности точки, соответствующей иррациональному числу вращения , известному как «золотое сечение», при K=1. Идентифицируйте ступеньки этой лестницы, отвечающие аппроксимациям «золотого сечения» при помощи чисел Фибоначчи.

Для получения оценки «удовлетворительно» необходимо набрать 11 баллов, оценки «хорошо» –∙18 баллов, оценки «отлично» – 30 баллов. Порядок выполнения задач произвольный, но в каждой задаче выполнять пункты а), б) и в) необходимо последовательно.

А вам такое слабо?


Хотите получать материалы на e-mail?