Полная и лаг синхронизация хаотических систем

Рубрика : Интересное, Лабораторные работы

I.     Введение

Синхронизация – одно из свойств нелинейных систем, которое заключается в установлении определенных соотношений между характерными временами, частотами или фазами колебаний парциальных систем в результате их взаимодействия. Эффект синхронизации, открытый Гюйгенсом в XVII веке играет огромную роль в природе и технике.

Важно отметить, что интерес к явлению синхронизации проявляют биологи, химики и даже представители социальных и экономических наук. Отмечено синхронное поведение взаимодействующих клеток живой ткани, ансамблей нейронов, биологических популяций. Весьма существенным обстоятельством при исследовании этих проблем является то, что анализируемые колебательные процессы не всегда являются строго периодическими. Возникают многие вопросы о применимости классической теории синхронизации к такого рода колебательным процессам.

С открытием и доказательством возможности существования хаотических колебаний как особых решений в динамических системах возникла проблема синхронизации таких колебаний. Появилось большое количество публикаций по этой проблеме. Однако теория синхронизации хаотических колебаний изучена не в полной степени. Этому есть объяснения, обусловленные широким спектром различных характеристик хаотических колебаний, наличием неопределенности понятия фазы и частоты хаотических колебаний.

Хаотическая синхронизация является одним из фундаментальных явлений, активно изучаемых в последнее время, имеющих важное  прикладное значение – передача информации с помощью детерминированных хаотических колебаний. Большой интерес вызывает возможность осуществления синхронизации внешним воздействием различных биологических процессов (сердечный ритм, ритмы мозга, дыхательный ритм), что может привести к нетривиальным возможностям использования, в том числе в медицине.

С развитием теории динамического хаоса и хаотической синхронизации в настоящее  время различают несколько различных типов хаотической синхронизации, таких как: обобщенная, фазовая, синхронизация с запаздыванием (лаг-синхронизация), полная. Каждый из этих типов синхронной динамики имеет свои особенности и свои способы диагностики.

Различные типы синхронизации связанных хаотических осцилляторов могут рассматриваться как различные виды проявления единых закономерностей, возникающих в связанных нелинейных системах [2-4].

1.1.Понятие полной синхронизации и синхронизации с запаздыванием (лаг синхронизации) идентичных хаотических систем (примеры полной синхронизации в  системах различной природы).

Изначально, синхронизация хаоса понималась как явление установления периодического режима под влиянием внешнего гармонического воздействия на систему, находящуюся  в режиме хаотических автоколебаний. Переход от хаотических к регулярным колебаниям при этом наблюдается при достаточно высокой интенсивности воздействия, то есть имеется некий порог синхронизации.

Другой тип синхронизации хаоса имеет место при взаимодействии двух идентичных хаотических систем. С увеличением коэффициента связи колебания в двух взаимодействующих системах становятся постепенно полностью идентичными: временные реализации соответствующих систем полностью повторяют друг друга. Такой тип синхронизации принято называть полной синхронизацией.

Помимо указанных выше типов синхронизации рассматриваются и некоторые другие эффекты частичной синхронизации, возникающие при взаимодействии одинаковых хаотических систем: к ним относятся запаздывающая синхронизация (lagsynchronization) Запаздывающая синхронизация наблюдается при сильном взаимодействии хаотических систем с незначительной расстройкой параметров. По своим характеристикам она близка к полной синхронизации: временные реализации соответствующих динамических переменных двух систем повторяют друг друга с некоторым запаздыванием во времени.

В настоящее время различают несколько различных типов хаотической синхронизации, таких как: обобщенная, фазовая, лаг (задержанная) и полная синхронизации.

Под лаг-синхронизацией, представленной на рис.1.6, понимается режим совместных колебаний, при котором динамика каждой из подсистем происходит с некоторым сдвигом по времени τ : x1 (t)≈x2 (t-τ).

Рис.1. Зависимость переменных от времени для лаг-синхронизации.

Рис.1. Зависимость переменных от времени для лаг-синхронизации.

Наконец, полная синхронизация, рис.2, означает идентичную динамику хаотических осцилляторов:x1 (t)≈x2 (t) [9].

Рис.2. Зависимость переменных от времени для полной синхронизации.

Рис.2. Зависимость переменных от времени для полной синхронизации.

Следует отметить влияние идентичности (неидентичности) на системы. Если для двух связанных идентичных систем мы наблюдаем режим полной синхронизации, то для системы со слегка различающимися параметрами режим полной синхронизации не наблюдается, а диагностируется режим синхронизации с запаздыванием. Таким образом, для потоковых систем полная и лаг-синхронизация являются, по сути дела, одним типом синхронного поведения. Для отображений ситуация аналогична.

Таким образом, до момента разрушения режима полной синхронизации существует полная взаимосвязь синхронных режимов в потоках и отображениях. С уменьшением связи седловые орбиты, встроенные в синхронный аттрактор связанных систем, теряют устойчивость и, в конце концов, режим полной синхронизации разрушается.

Установлено, что лаг и полная синхронизация тесно связаны между собой и, по сути, дела, являются проявлением одного и того же вида синхронной динамики временных масштабов связанных хаотических осцилляторов; при этом характер синхронного режима определяется количеством синхронизованных временных масштабов, вводимых с помощью непрерывного вейвлетного преобразования [1]

Мы видим, что полня синхронизация – пороговое явление: она наблюдается, только если связь превышает критическое значение. Ниже порога состояния системы близки, но все же различаются. Выше порога они идентичны и хаотически меняются со временем.

Экспериментально режим полной синхронизации наблюдался в эксперименте Roy и Thornbyrg [1994]. В данном эксперименте наблюдалась синхронизация колебаний хаотических интенсивности двух Nd:YAG  лазеров с модуляцией накачки. Связь обеспечивалась перекрытием электромагнитных полей внутри резонатора, она могла изменяться в ходе эксперимента. При сильной связи интенсивности были идентичны и продолжали изменяться хаотически.

1.2 Синхронизация путем подавления хаоса.

Особый случай синхронизации наблюдается при достаточно сильном периодическом воздействии на хаотическую систему. Такая сила может подавить хаос и привести к периодическим движениям с периодом силы. Такой режим можно характеризовать как синхронизацию через подавление хаоса.

Рис.3. Синхронизация через подавление хаоса внешним периодическим воздействием в лампе обратной волны.

Рис.3. Синхронизация через подавление хаоса внешним периодическим воздействием в лампе обратной волны.

1.3 Устойчивость синхронного режима.

Поскольку две связные системы являются симметричными по отношению к перестановке переменных, синхронное состояние x (t)=y (t) является решением системы при любых значениях параметра связи ε. Это означает, что симметричные начальные условия (x (0)=y (0) или V=0) остаются симметричными в процессе эволюции. Если же мы хотим, чтобы симметричное состояние наблюдалось не только при специальных, но и при произвольных начальных условиях, нужно дополнительно потребовать устойчивость потребовать устойчивость этого состояний: полностью синхронный режим V=0 должен быть аттрактором, то есть синхронное состояние должно устанавливаться и при ассиметричных начальных условий. Критическое значение параметра связи определяется из условия устойчивости. Поскольку V соответствует поперечному направлению, то устойчивость синхронного состояния часто называют поперечной устойчивостью симметричного аттрактора.

Поперечный ляпуновский показатель определяется как

λ=ln¦1-2ε¦+λ

критерий устойчивости синхронного состояния формулируется сле­дующим образом:

λ>0:   синхронное состояние неустойчиво,

λ< 0:   синхронное состояние устойчиво.

Порог устойчивости находится из условия  при условии что λ=0:

1.4. Переход к синхронизации: геометрическое рассмотрение

Переход к полной синхронизации возможно рассматривать с геометрической точки зрения путем описания объектов в фазовом пространстве и их бифуркаций. Можно рассматривать как переход от полностью симметричного аттрактора, лежащего на диагонали х = у, к несимметричному, лежащему в некоторой окрестности диагонали (под асимметрией мы понимаем x(t)≠y(t); распределение вероятностей на плоскости (х, у) может оставаться симметричным). Этот переход можно интерпретировать как бифуркацию странного аттрактора. Удобно рассматривать неустойчивые периодические траектории, поскольку они образуют скелет хаотического множества. Они плотны на хаотическом аттракторе и многие характеризующие хаос величины (например, инвариантная мера, максимальный ляпуновский показатель) могут быть выражены через периодические траектории.

Поперечные бифуркации периодических траекторий

В качестве исходного состояния мы выберем полностью синхронное состояние и будем исследовать нарушение симметрии, последовательно уменьшая параметр связи ε. Рассмотрим сначала простейшую периодическую траекторию — состояние равновесия. Неподвижной точке х* отображения х—>f(x) соответствует синхронное состояние равновесия x(t)=y(t)=х*, существующее при всех ε.

Если эти бифуркации мягкие (что определяется нелинейными членами отображения), то появляются либо два симметричных состояния равновесия в случае бифуркации вилки, либо траектория периода два. Эти решения устойчивы по направлению V, но от симметричного решения они наследуют неустойчивость по направлению U. Бифуркация неподвижной точки схематически показана на рис. 4.

Описанная ситуация верна для всех неподвижных точек и пери­одических траекторий отображения f(x), так что от симметричной траектории периода Т, xp(t) = yp(t), ответвляется либо пара симметричных друг другу траекторий того же периода в результате бифуркации вилки, либо траектория удвоенного периода в результате бифуркации удвоения периода.

Рис4. Так выглядит мягкая поперечная бифуркация неустойчивой неподвижной точки, (а) При ε > εс(х*) неподвижная точка неустойчива в продольном направлении, но устойчива в поперечном. (б) При ε < εс(х*) в результате поперечной неустойчивости рождается цикл периода два или пара неподвижных точек.

Рис4. Так выглядит мягкая поперечная бифуркация неустойчивой неподвижной точки, (а) При ε > εс(х*) неподвижная точка неустойчива в продольном направлении, но устойчива в поперечном. (б) При ε < εс(х*) в результате поперечной неустойчивости рождается цикл периода два или пара неподвижных точек.

Слабая и сильная синхронизация

В типичной ситуации мультипликаторы различных периодических орбит не совпадают, поэтому их бифуркации, связанные с поперечной неустойчивостью, занимают целый интервал значений параметра (εсmin; εc,max) — Таким образом, в отличие от бифуркации одной периодической траектории, переход к синхронизации для всего хаотического множества занимает интервал по параметру.

Можно выделить следующие режимы

Сильная синхронизация, ε > εс,max

Все симметричные траектории поперечно устойчивы. При этом все точки из окрестности диагонали притягиваются к синхронному аттрактору х = у и остаются в нем.

Слабая синхронизация, εс < ε < εc,max.

Некоторые из периодических траекторий поперечно неустойчивы, но синхронное состояние устойчиво в среднем. Теперь почти все точки из окрестности диагонали притягива­ются к ней, но есть и исключительные начальные точки, которые покидают эту окрестность.

Локальный и глобальный ридлинг

В случае мягкой поперечной неустойчивости периодических орбит симметричного аттрактора новые поперечно устойчивые периодические точки появляются в окрестности диагонали х = у. Соответственно, топологический аттрактор, который можно рассматривать как «огибающую» этих появившихся асимметричных периодических точек, мягко вырастает из диагонали. Милноровский аттрактор на диагонали х = у притягивает подавляющее большинство соседних точек, но есть исключительные возмущения, которые растут в поперечном направлении. Эти растущие возмущения, однако, не могут отойти далеко от синхронного состояния (особенно, если связь близка к критической, при которой возникает первая поперечная неустойчивость εс,mах) поскольку рост ограничен неустойчивыми многообразиями родившихся асимметричных периодических орбит. Фактически почти все возрастающие возмущения возвращаются к симметрично­му состоянию (кроме тех, что лежат на устойчивых многообразиях асимметричных периодических орбит). Эта ситуация называется локальный ридлинг7 Она существует вблизи симметричного состояния при εс<ε< εс,mах и проявляется на пороге ε = εс.

Другая ситуация наблюдается в случае, когда поперечная бифуркация периодической орбиты на симметричном аттракторе (например, типа вилки) — жесткая. В этом случае при ε = ε с,mах пара симметричных неподвижных точек (периодических орбит) «влипает» в симметричную точку (периодическую орбиту), так что последняя становится неустойчивой. В отличие от локального ридлинга, поперечные возмущения теперь не остаются в окрестности симметричной орбиты, а отходят далеко от диагонали. То же самое происходит и при жесткой бифуркации удвоения периода, оба этих случая показаны на рис. 5.

Режим слабой синхронизации при глобальном ридлинге еще более чувствителен, поскольку в окрестности диагонали есть точки, покидающие ее и уходящие к какому-нибудь удаленному аттрактору. Более того, эти точки плотны в окрестности диагонали (здесь работает тот же самый аргумент, что и в случае локального ридлинга), хотя их мера стремится к нулю при приближении к диагонали х = у. Такая структура области притяжения аттрактора назывется глобальным ридлингом; для нее характерна особенная чувствительность к шуму. Действительно, шум выбивает траекторию с диагонали, и поэтому есть конечная вероятность попасть в область притяжения удаленного аттрактора в каждый момент времени. Поэтому синхронизация возможна только как временный, переходный режим — в конце концов все траектории покидают окрестность синхронного состояния.

Рис. 5. Жесткая поперечная бифуркация неподвижной точки. У затененной области есть прообразы (не показанные на рисунке), которые плотны в окрестности диагонали.

Рис. 5. Жесткая поперечная бифуркация неподвижной точки. У затененной области есть прообразы (не показанные на рисунке), которые плотны в окрестности диагонали.

1.5.Распределенные системы

Хаотические режимы в распределенных динамических системах, при которых корреляции убывают в пространстве и во времени, часто называют пространственно-временным хаосом.

К популярным моделям, демонстрирующим пространственно- временной хаос, относятся цепочки связанных отображений, уравнения в частных производных и цепочки связанных осцилляторов (с непрерывным временем).

Различают два типа полной синхронизации пространственно- временного хаоса. В одном случае речь идет о полной идентичности хаотических движений во всех точках пространства. При этом в распределенной системе наблюдаются пространственно однородные, хаотические по времени движения. В другом случае движения хаотичны как во времени, так и в пространстве, но они обладают определенной симметрией. Например, двумерное поле и(х, у, t) может быть однородным по у и в то же время демонстрировать одномерный пространственно-временной хаос по х.

  • Пространственно однородный хаос

Модель пространственно-временного хаоса можно построить, взяв за основу конечномерную динамическую систему и составив дис­кретную или непрерывную среду из этих элементов. Такой подход можно рассматривать как непосредственное обобщение построения среды из колебательных элементов.

  • Поперечная синхронизация пространственно-временного хаоса

Пространственно-временной хаос может быть неоднородным по некоторым направлениям в пространстве, но однородным синхронным — по другим. Простейший пример такой ситуации получается, если две распределенные системы с турбулентной динамикой связаны друг с другом диссипативной связью.

  • Синхронизация как симметричное состояние общего вида

В более общем контексте синхронный режим можно рассматривать просто как симметричное состояние и исследовать, при каких условиях такое состо­яние возможно и когда оно устойчиво. При этом может оказаться, что мы не можем разделить систему на отдельные части, но «синхронизация» — в том или ином смысле — все же будет наблюдаться.

2.1 Численное исследование полной синхронизации в связных уравнениях Гинзбурга – Ландау.

Рассмотрим переход от несинхронного состояния к полной  синхронизации в системе двух связанных уравнениях Гинзбурга – Ландау:

Моделируя систему, пронаблюдаем переход полной синхронизации.

Для решения системы комплексных уравнений выделялась действительная и мнимая часть отдельно u1,2=x1,2+iy1,2, таким образом, получили четыре уравнения относительно четырех неизвестных x1, x2, y1, y2.

Начальные условия задавались случайным образом, а граничные условия задавались периодическим способом так, что значения в начальной пространственной координате равнялись значениям в конечной продольной координате.

Для проверки правильности решения системы проводилась тестовая задача со следующими условиями: ε=0, α1, α2 , β1, β2 выбирались одинаковыми. В этом случае различия в системах должны быть близкими почти равными нулю. На рис6. Представлен пространственно-временное распределение величины D=(x1(z,t)2+y1(z,t)2)½— (x2(z,t)2+y2(z,t)2)½ .

Рис.6. Зависимость D  от z и t при ε=0 и α1  = 3, α2 =3, β1 =3, β2 =3.

Рис.6. Зависимость D от z и t при ε=0 и α1 = 3, α2 =3, β1 =3, β2 =3.

Для перехода к синхронизации будем постепенно увеличивать параметр синхронизации до тех пор, пока разность между системами не будет близка  к нулю.

Рис.7. –для данного случая начальные условия выбраны случайным образом, параметр  ε = 10, α1  = 4, α2 =3, β1 =2.5, β2 =1.5

Рис.7. –для данного случая начальные условия выбраны случайным образом, параметр ε = 10, α1 = 4, α2 =3, β1 =2.5, β2 =1.5


Рис. 8. –для данного случая начальные условия выбраны случайным образом, параметр  ε =30, α1  = 4, α2 =3, β1 =2.5, β2 =1.5

Рис. 8. –для данного случая начальные условия выбраны случайным образом, параметр ε =30, α1 = 4, α2 =3, β1 =2.5, β2 =1.5

Для анализа системы и перехода в режим полной синхронизации исследовались также области синхронизации системы, параметры α1, α2, β1 = const, .β2€[1.5, 4]

На рисунке 9 представлены области синхронизации для заданных параметров системы.

Рис. 9. Области синхронизации для системы Гинзбурга-Ландау.

Рис. 9. Области синхронизации для системы Гинзбурга-Ландау.

Литература.

1. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems. Phys. Rev. Lett. 64, 8 (1990) 821-824.

2. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003

3. Pecora L.M., Carroll T.L., Jonson G.A., Mar D.J. Chaos. 7,4 (1997) 520

4. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G., Valladares D.L., Zhou C. The synchronization of chaotic systems. Phys. Reports. 366 (2002) 1

5. Rulkov N.F. Images of synchronized chaos: experiments with circuits. Chaos 6 (1996) 262-279

6. Pazo D., Zaks M., Kurths J. Role of unstable periodic orbits in phase-and lag synchronization between coupled chaotic oscillators. Chaos 13 (2002) 309-318.


Хотите получать материалы на e-mail?