Структурно устойчивый хаос в модельных отображениях

Рубрика : 3 курс

СТРУКТУРНО УСТОЙЧИВЫЙ ХАОС В МОДЕЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

1. Исследование проекции аттрактора Смейла Вильямса и бассейна притяжения устойчивости точки (0,0), при разных значениях параметра R.

2. Построение карты динамических режимов аттрактора Смейла Вильямса.

Заключение.

Литература.

Введение

Множество точек в фазовом пространстве системы, посещаемых в установившемся режиме, называется аттрактором (от англ.attract ‑ притягивать). Примеры аттракторов: устойчивое состояние равновесия и предельный цикл ‑ режим периодических автоколебаний (замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все соседние траектории, как показано на рис. 1) [1].

Рис. 1. Хаотический (странный) аттрактор Ресслера при а=b=0.2 и с=5.7.

Рис. 2. Селеноид Смейла-Вильямса.

Свойство, делающее аттрактор странным, — чувствительность к начальным условия (термин введен Рюэлем и Такенсом в 1971 г.).

Хаотические аттракторы обычно являются странными [2].

В математической теории динамических систем вводится в рассмотрение класс гиперболических хаотических аттракторов, обладающих свойством структурной устойчивости («грубости»), которое заключается в нечувствительности структуры аттрактора к вариациям параметров в определяющих уравнениях. В учебниках и монографиях по нелинейной динамике гиперболические хаотические аттракторы представлены математическими конструкциями, такими как, например, соленоид Смейла Вильямса.


Соленоид Смейла-Вильямса представлен простой математической моделью [3].

rn+1 = 1 + a (rn – 1) + e cos jn, jn+1 = 2jn, zn+1 = azn + e sin jn,

где a, e — константы.

Эта модель представлена в виде отображения в цилиндрических координатах.

image003

математическое выражение

Сам селеноид получается путем растяжения тора в продольном направлении, сжимания в поперечном, и сложения вдвое, как показано на рис. 2. При этом полученный объект вкладывается внутрь исходного тора. При многократном итерировании отображения Смейла-Вильямса в итоге получается фрактальный аттрактор из множества петель — соленоид.


Целью работы является рассмотрение отображения, придуманного С.П. Кузнецова, напоминающее отображение Смейла-Вильямса, его построение, наблюдение бассейна притяжения устойчивости точки (0,0), при разных параметрах, также построение отображения карты динамических режимов.

1. Исследование проекции аттрактора Смейла Вильямса и бассейна притяжения устойчивости точки (0,0), при разных значениях параметра R.

Выбранное отображение представляет собой математическое выражение:

математическое выражение

Действительная часть

Соответственно действительная и мнимая части аттрактора имеют вид:

Действительная часть

Мнимая часть


Мнимая часть

Карта динамических режимов аттрактора Смейла Вильямса

Была написана программа, изображающая аттрактор и бассейн притяжения в координатах Re (z) и Im (z).

Исследование отображения и бассейна притяжения проводились при следующих начальных параметрах, менялся параметр R:

Xo=1.2; Yo=1.1; e=0.3; n=10000;

На изображениях указаны притягивающая неподвижная точка, в центре, аттрактор отображения (красный), граница бассейна притяжения аттрактора (зеленый цвет).


Граница раздела между бассейном притяжения аттрактора отлична от окружности. Ею служит некоторое неустойчивое хаотическое инвариантное множество, обладающее фрактальной структурой.

3kurssvf

С уменьшением параметра R характерный размер аттрактора уменьшается, а размер бассейна притяжения увеличивается, как показано выше. При R=Rс,=1.53, происходит касание множеств. Это отвечает моменту кризиса аттрактора — касанию с границей бассейна притяжения. После этого хаотический аттрактор исчезает.

2. Построение карты динамических режимов аттрактора Смейла Вильямса.

КДР строилась при малых и больших начальных значениях x, y, в координатах e, R:

Карта динамических режимов аттрактора Смейла Вильямса[/caption]Соответственно желтому цвету соответствует цикл периода 1, зеленому 2, красному 3, черному хаос и так далее.


Таким образом, анализируя карту динамических режимов, можно сказать о поведении отображения.

Заключение

В ходе работы было, реализовано построение исходного отображения и карты динамических режимов, определение порогового значения параметра R=Rс,=1.53, которому соответствует момент кризиса аттрактора — касание с границей бассейна притяжения и построение карты динамических режимов для разных начальных условий, то есть значений x,y.

Литература

1. С.П.Кузнецов. Динамический хаос.

2. П. В. Елютин. Лекции по нелинейной динамике.

3. С.П.Кузнецов. О возможности реализации параметрического генератора гиперболического хаоса.

4. О.Б. Исаева, С.П. Кузнецов, А. Пиковский. Об одном бифуркационном сценарии рождения аттрактора типа Смейла — Вильямса.


Хотите получать материалы на e-mail?