Лекция по синергетике №1

Рубрика : Восемь лекций по синергетике

Лекция 1.

Введение. Новая парадигма естествознания.

«Хороших идей мало у кого много.»
/Станислав Ежи Лец/

После знакомства с законами, управляющими миром неживой природы мы вправе спросить себя:
1. Почему, зная фундаментальные законы и умея конструировать сложнейшие системы, мы не можем предсказать поведения простейших биологических систем?

2. Почему так поразительно отличаются системы, существующие в природе от тех, что созданы человеком?

Для первых характерна устойчивость относительно внешних воздействий, самообновляемость, возможность к самоусложнению, росту, развитию и согласованность всех составных частей.

Для вторых — резкое ухудшение функционирования даже при сравнительно малом изменении внешних воздействий или ошибках в управлении. Предоставленные самим се-бе, они могут лишь разрушаться в соответствии с принципом возрастания энтропии.
/ Можно сломать дерево, разрезать пополам червяка, наступить на кошку, разру-шить целое государство, наконец. Через некоторое время в этих системах может произойти частичное или даже полное восстановление. Но что будет с трактором, роботизированной производственной линией, с компьютером, если их слегка подпортить?../

На поставленные вопросы трудно ответить сразу ни после изучения физики, ни — математики, ни- химии ни даже — биологии.

В начале 70-х годов возникло новое междисциплинарное направление — синергетика, связываемое прежде всего с именами И.Пригожина и Г.Хакена (автор термина). Одной из главных задач этого направления можно считать задачу познания общих принципов, лежащих в основе процессов самоорганизации, реализующихся в системах самой разной природы: физических, биологических, технических, экологических, социальных. При существенном различии этих систем все они характеризуются такими общими признаками, как: открытость (незамкнутость), удаленность от состояния равновесия, нелинейность. Мир синергетики это мир предсказуемости и непредсказуемости, образующий тот неповторимый узор событий, который окружает нас и частью которого мы являемся.

Термин «синергетика» составлен из двух частей греческого происхождения. Приставка «си-», означающая совместное действие встречается нам в таких словах, как «сим-биоз», «синтез», «симпатия», «синфазность». Вторая часть знакома многим « энергизм» — активность. В химии известен термин «синергизм», обозначающий явление усиления действия одного вещества в присутствии другого. Так, L-глютамат натрия добавляют в консервы, для усиления вкуса мясных продуктов, а триптофан — в сахарин, для удаления неприятного привкуса, присущего чистому веществу. По всей вероятности, автор терми-на имел ввиду именно этот эффект усиления при сопоставлении результатов деятельности различных наук, объединенных для решения задачи познания реального мира, объективно не разделенного на обособленные разделы институтом науки. В последнее время рамки термина значительно расширяются, правда очень часто — в сторону спекуляции на его звучности и незамкнутости задач этого научного направления. Так рождаются туманные термины типа «синергетика слова», «синергетика образования» и т.п. Это достаточно распространенное явление на этапе становления.

Синергетика — не отдельная наука. Она родилась не на пустом месте. Большинство известных результатов и используемых методов анализа получено в теории колебаний, в гидродинамике, в термодинамике учеными, решившими конкретные задачи и не причислявшими себя к новому направлению. Именно это обстоятельство служит поводом для неприятия некоторыми синергетики как нового направления. Но ведь и теория колебаний и гидродинамика — всего лишь отдельные направления физики, а не самостоятельные науки. Скорее, синергетика — это результат озарения гением давно известных и накапливающихся в разных науках результатов, обратившего внимание именно на общность некоторых систем в процессе их самоорганизации. Известно, что один человек, творя и размышляя, может быть сильнее всей системы знаний, поскольку он сам — целая система.

Научных направлений много, есть, однако, аспект, ставящий синергетическое на-правление в ряд, отдельный от многих существующих. Ряд философов, среди которых можно выделить Г.П.Щедровицкого (Московский философский кружок МГУ), утвержда-ет, что институт науки, возникший при разделении изучения единой Природы на отдельные фрагменты, просуществовав около трехсот лет со времен Галилея, в настоящее время заходит в тупиковое состояние. Со временем он сменится иным, синтезирующим достигнутый уровень познания, в котором живое и неживое будет рассматриваться как единое целое.

Как подтверждение этой позиции можно привести возникновение за последние полвека большого количества смежных направлений (физическая химия, химическая физика, биомедицина, биофизика, экология, математическая лингвистика и т.п.), привлекающих специалистов смежных наук. В указанном смысле синергетика — перспективное направление, обещающее рождение новой системы взглядов на явление жизни — новую научную парадигму.

Знакомство с динамикой нелинейных явлений.

Для начала обратимся к моделям различных явлений (не только физических) и за-метим, что для описания любого статического или стационарного состояния достаточно алгебраических соотношений типа: mg = N; pV = RT; mV2 /R = T и т.п.
В основе описания динамических процессов лежат дифференциальные уравнения. Эти уравнения могут быть линейными и нелинейными.
Так обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка вида

обыкновенное дифференциальное уравнение n-го

обыкновенное дифференциальное уравнение n-го

(1.01)

называется линейным, если искомая функция Y (x) входит в уравнение только линейной комбинацией всех своих производных, а коэффициенты an , an-1 ,... a1 , a0 — параметры уравнения — постоянные величины, не зависящие от x или от значения функции Y. Уравнение называется однородным, если F (x)= 0.

Эти сведения пригодятся нам в дальнейшем.
Достаточно простые уравнения могут быть решены аналитически до конца. На-пример, легко решается уравнение, описывающее движение тела в вязкой среде:

уравнение, описывающее движение тела в вязкой среде

уравнение, описывающее движение тела в вязкой среде

Те, что посложнее, могут быть решены для частного случая. Таково, например, уравнение маятника, решение которого для малых колебаний хорошо известно. Совсем сложные уравнения можно решить на компьютере (хотя, даже с компьютером не все бывает просто!).

Но практически любое уравнение может быть проанализировано с нескольких то-чек зрения и примерный вид хотя бы одного его решения может быть предугадан.

Рассмотрим с этой точки зрения несколько математических моделей динамики реальных систем различной природы.

Простейшая модель народонаселения.
Прямое решение линейного уравнения.

Т. Мальтус — английский священник, экономист, в 1798г. в книге «Опыт о законе народонаселения» предложил следующую модель роста численности населения на планете.

Пусть N (t) — численность населения в данный момент, N (0) — численность населения в момент, принятый за начальный. Тогда за промежуток времени Δt население увеличит свою численность за счет рождения — эта часть будет пропорциональна числу живущих; часть населения умирает — эта часть также пропорциональна N (t).

3(1.02)

здесь α и β — коэффициенты пропорциональности. Введем единый параметр k = α — β, управляющий системой.

Переходя к бесконечно малым, запишем дифференциальное уравнение, отражающее динамику процесса:

дифференциальное уравнение, отражающее динамику процесса

дифференциальное уравнение, отражающее динамику процесса

(1.03)

Вспомним, что таким же уравнением описывается, например, процесс радиоактивного распада, процесс распространения излучения в поглощающей среде. Но величины имеют, конечно, иной смысл.

Это уравнение легко решается методом разделения переменных:

метод разделения переменных

метод разделения переменных

(1.04)

А вот и график решения (Рис 1.1). Возможны три варианта поведения системы в зависимости от значения параметра:

k<0 — вымирание преобладает — такое бывает нечасто,

k=0 — равновесие числа живущих и умирающих,

k>0 — рождается больше, чем умирает. Обычно так оно и есть.

график решения

график решения

Экспоненциальное нарастание, безусловно, испугает любого. Но вот какой вывод сделал Мальтус: во имя счастья человечества он выбрал борьбу за равновесие — прежде всего он стал противником врачебной деятельности. «...Человек, появившийся на свет, уже занятый другими людьми, если он не получил от родителей средств к существованию, если общество не нуждается в его труде, не имеет права требовать для себя пропитания ибо он лишний на этом свете... На великом пиршестве Природы для него нет прибора. Природа приказывает ему удалиться, и если он не может прибегнуть к состраданию кого-либо из пирующих, она сама принимает меры к тому, чтобы ее приказание было приведено в исполнение». Вот такой был священник.

Это примитивная модель.

Хотя бы потому, что бесконечный рост не наблюдается в природных популяциях. Модель требовала уточнения.

Логистическая модель Ферхюльста (1838г).
Прямое решение нелинейного уравнения.

Новое уравнение, записанное по наитию автора, выглядело так:

Логистическая модель  Ферхюльста

Логистическая модель Ферхюльста

(1.05)

Здесь Nm отражает «емкость» среды, способной еще «накормить» всех живущих. Уравнение этого типа получило название логистического. /"Логистика" — термин, появившийся очень давно, еще во времена Аристотеля, употребляющийся для обозначения систем логики, характеризующихся попыткой сведения логических рассуждений к формальным вычислениям – по сути этим термином обозначали тогда совокупность всех вычислительных операций. Во времена расцвета схоластики многие ученые считали, что все истины можно получить, не прибегая к расчетам — пользуясь только законами «чистой» логики — отсюда, по-видимому, и термин, с оттенком пренебрежения. Сейчас у этого термина есть и другие, дополнительные значения.

Это уравнение уже нелинейное — присутствует слагаемое пропорциональное квадрату искомой функции. Но переменные в нем легко разделяются и тогда его нетрудно решить до конца, используя, например, табличный интеграл:

табличный интеграл

табличный интеграл

(1.06)

9

Посмотрим график (Рис.1.2). Видно, что поведение решения стало значительно правдоподобнее. Однако, численность населения стремится к неизменному (равновесному) значению. Такого тоже не бывает. По-видимому, в процессе эволюции параметры системы k и Nm могут меняться (изменения технологий, климата), а каждое экологическое равновесие носит лишь временный характер.

Реализуем наши предположения, но уже на другом примере, не проводя больше глобальных экспериментов с населением планеты.

10(Рис.1.2)

Модель рыболовства. Анализ простого нелинейного уравнения.

Будем считать, что модель изменения численности рыбы в пруду подчиняется практически тем же законам, что и народонаселение.
Учтем изменение параметра k в модели Мальтуса

модель Мальтуса

модель Мальтуса

Выберем это изменение так, чтобы отражался факт ухудшения условий жизни с ростом численности популяции. Пусть это будет простейший — линейный закон:
k = a — b*N

В этом случае:

N ' = a*N — b*N*N

(1.07)

Здесь коэффициент a учитывает воспроизводство (чем больше рыбы, тем больше потомства), а коэффициент b учитывает вероятность вымирания при встрече особей за счет борьбы за пищу и за счет эпидемий. Это уравнение нетрудно решить аналитически. Однако, продемонстрируем иной метод — качественный анализ дифференциального уравнения, который поможет понять идею анализа в более сложных ситуациях. Эта идея состоит в определении областей выпуклости и вогнутости будущего графика функции, а так же в определении асимптот графика. Причем, наличие горизонтальных асимптот означает здесь, что через достаточно большой промежуток времени с начала наблюдения численность населения пруда выйдет на стационарное значение (будем обозначать его N*) и далее перестанет изменяться.

Пусть, для простоты, a = b = 1. Тогда: N ' = N — *N*N (1.08)

Наличие стационарной заселенности пруда означает математически, что может наступить состояние, при котором N '= 0. Проверим, возможно ли такое в нашем случае:
N '= N — N*N = 0.

Решив квадратное уравнение, получаем два таких значения
N1*=0 и N2* = 1.

Смысл этого нетрудно понять графически (Рис.1.3).

Отметим, что здесь график параболы N '= N — N*N изображен в повернутом ракурсе — для большего удобства при дальнейшем анализе.

Теперь, вспомним — отрицательное значение производной означает, что график в данной области представляет собой убывающую функцию, причем тем сильнее убывающую, чем больше значение производной, а положительное значение — соответствует области возрастания. Пользуясь этими знаниями, можно, сообразуясь с имеющимся графиком

12

производной, построить примерный график функции N (t) — он изображен на Рис.1.4.

Здесь представлено несколько графиков — траекторий развития — каждая соответствует определенному начальному условию. Так развивается система, предоставленная сама себе. Имеется две области, соответствующие различным начальным условиям и разделенные пунктирной кривой – асимптотой стационарного состояния.

Видно, что при небольшом изменении начального условия развитие каждый раз соответствует другой кривой, располагающейся рядом с первоначальной.

Видно также и другое: с течением времени развитие стремится к стационарному состоянию N2* = 1, а от состояния N1* = 0 все траектории развития уходят, хотя оно тоже стационарное. Состояние N2* является устойчивым, а N1* — неустойчивым. Если начальная заселенность N (0) больше, чем N2* , часть рыбы впоследствии вымирает. А если N (0)< N2* — численность популяции вырастает, но только до стационарного значения N2*.

Начнем вылавливать рыбу.
Математически это можно выразить, введя параметр С — квота на отлов.
Если эта величина С постоянная, то таким образом, мы устанавливаем жесткий план отлова рыбы.
Тогда: N ' = N — N2 — C

Определим стационарные состояния, при которых N ' = 0:

13

Видно, что значение параметра С = ¼ здесь является важным для анализа (напомним, что весь анализ уравнения (1.07) проводится нами при значениях a = b = 1). При С > ¼ стационарные состояния отсутствуют.

Рассмотрим три возможных случая и построим графики.
Пусть С < ¼ ( Рис 1.5, 1.6 ).

14

Видим, что картина в общих чертах сохранилась, однако область неустойчивости расширилась: при начальных условиях, попадающих в область III, возникает опасная ситуация — пруд вымирает.

Увеличим квоту вылова, пусть С=¼. Стационарное состояние одно: N12*=½ .

15

Строим графики (Рис. 1.7, 1.8 )

Теперь имеется только одно стационарное значение и оно, в целом, неустойчиво: хотя со стороны области I система стремится к стационарному значению, но, если в дальнейшем численность в силу каких-то причин уменьшиться, пруд вымирает. Ситуация очень опасная — даже малые отклонения численности ведут в катастрофе.

Ситуация с большой квотой вылова ( С > ¼ — перелов рыбы ) еще опаснее.

16

Пруд вымирает при любых начальных условиях.

С точки зрения хозяйственников положение удручающее.
Но выход, оказывается, есть. Установим «обратную связь» — установим мягкий план и будем вылавливать пропорционально имеющейся на данный момент численности населения пруда, т.е. пусть величина квоты изменяется: С ≈ N (t), иначе С = γN (t).

В этом случае:
N ' = N — N*N — γ N (1.10)
Определим стационарные состояния для случая γ= ½ :

N '= N/2 — N*N = 0 получаем

N1*= 0, N1* = ½.

Нарисуем график ( Рис.1.11, 1.12 )

17

Видно, что обратная связь стабилизирует систему. Учтите это при выборе ответственных решений!

Проведя анализ по полю параметров, мы узнали о системе, пожалуй, даже больше чем если бы просто решили уравнение. Мы почувствовали как «живет» решение.

Тот факт, что динамические явления описываются дифференциальными уравнениями, позволяет понять некоторые, кажущиеся парадоксальными, факты явлений нашей жизни.

Так, в течение нескольких десятилетий состояние нашей экономики вызывало тревогу специалистов — устойчиво отрицательной стала вторая производная. Но ведь первая-то еще росла, и благосостояние-то увеличивалось! У населения и руководства такое состояние ее вызывало опасений — «немного покумекаем и выправим дефект…»

Это ошибочное мнение — математики знают, что постоянно отрицательная четвертая, третья, вторая производные в конце концов приведут к отрицательности первой. И когда этот процесс станет заметным, изменить его мгновенно, не разрушив систему, нельзя уже никакими средствами. Влияние будет распространяться сначала только на старшие производные так же, как в механике действие силы распространяется сначала только на вторую производную — ускорение, и только затем — на скорость и координаты!

Таким образом, экономическая деградация вызвана не столько неправильными новыми решениями, сколько давними ошибками, сделанными еще во времена роста производства. Любые реформы, даже самые правильные, приводят на некоторое время к ухудшению. Но попробуйте честно отделить собственные ошибки от сделанных ранее и объяснить все это доведенному до отчаяния народу. Да и наши чувства не всегда подчиняются разуму — требуются и знания и большая гибкость для примирения возникающих противоречий.


Хотите получать материалы на e-mail?