Лекция по синергетике №2. Динамические системы. Фазовое пространство

Рубрика : Восемь лекций по синергетике

Фазовое пространство

Динамические системы. Фазовое пространство.

"Если люди не верят, что математика проста, то только потому, что они не осознают, как сложна жизнь.

/ Джон фон Нейман /

Начнем с определения.

Динамическая система — математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим и другим системам, эволюция которых во времени на бесконечном интервале времени однозначно определена начальным состоянием.

Реальному физическому процессу, например, колебаниям маятника, соответствует динамическая система, когда этот процесс, в определенных, заранее оговоренных, приближениях можно описать уравнением или системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных), и которые допускают существование единственного решения на бесконечном интервале времени при любых начальных условиях. Эти уравнения описывают детерминированные процессы, для которых весь их будущий ход и все прошлое однозначно определяется состоянием в настоящее время.

Примеры, рассмотренные на прошлой лекции это динамические системы — образы соответствующих реальных систем. Вы уже обратили внимание на то, что одно и то же уравнение может соответствовать различным по своей природе системам. Таким образом, важнейшие результаты, которые будут получены при анализе данной динамической системы могут быть распространены по сути на любую физическую, биологическую, экологическую и даже на социальную колебательные системы, независимо от природы процессов в них. Важно только, чтобы были точно установлены аналоги величин, и чтобы последующая интерпретация решений не выходила за пределы учтенных в этой математической модели эффектов.

Конечно, реальные системы гораздо сложнее, чем их математические образы, определенные описанным выше способом — динамические системы. Однако, для того, чтобы понять хотя бы то, что мы вкладываем в бытовое понятие сложности, можно начать с упрощенных моделей, учитывающих самые основные черты рассматриваемых явлений, а затем, введением новых деталей в уравнения, попытаться учесть новые и новые эффекты. Это основной метод науки — от простого к сложному. Опыт показывает, что этот метод достаточно плодотворен.


Продолжая знакомство с методами анализа линейных и нелинейных (именно последние интересуют нас в большей степени!) дифференциальных уравнений, рассмотрим две уже достаточно известных Вам модели.

Пружинный маятник

Это хорошо известная модель, движения шарика массой m, прикрепленного к невесомой пружине с жесткостью k, описываемая линейным дифференциальным уравнением второго порядка — уравнением движения:

Пружинный маятник (2.01)

Для дальнейшего анализа более удобно представить это уравнение двумя уравнениями первого порядка:

image003,                  image002

(2.02)

здесь (wo)^2 = k / m — существенно положительная величина.

В отличие от предыдущих примеров, состояние системы характеризуется двумя переменными x — координатой шарика, отсчитываемой от положения равновесия, и V — его скоростью. Как известно, решение этого уравнения может быть представлено функцией вида:

X (t) = Xm Sin (wo t + φ),

(2.03)

описывающей гармонические колебания этого маятника. Величины Xm и φ определяются по известным начальным условиям. График движения на плоскости X- t хорошо известен. Пока не будем приводить его здесь. Обратимся к еще одному приему анализа.

Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний — фазовом пространстве. В этом абстрактном пространстве координатами являются величины, характеризующие состояние системы — фазу системы. Так, для систем классической механики это набор положений и скоростей точек системы в каждый момент времени. Для экологических систем это могут быть численности популяций различных видов, определяющие фазу развития системы. В своей жизни мы употребляем такие словосочетания как «фаза развития растения», «фаза развития общества», «фазовое состояние вещества — твердое, жидкое, газообразное», «фаза тригонометрической функции» и т.п. Теперь мы придали этим понятиям обобщенный смысл, связанный с количественными характеристиками.


Совокупность последовательных положений системы в фазовом пространстве - фазовая траектория. При изображении фазовой траектории обязательно указывают направление перемещения системы по ней с увеличением времени. Для чего введено понятие фазового пространства?

При анализе иногда удобнее переходить в систему отсчета, в которой описание выглядит проще. Иногда с той же целью мы вводим новые переменные (Вы уже знакомы с этим из курса математики). Это ведь тоже переход в новое пространство переменных. С этой же целью введено и фазовое пространство. Правда, упрощение анализа в фазовом пространстве удобно, в основном для колебаний. На приведенном рисунке изображены временные и фазовые траектории для трех хорошо знакомых движений. Видно, что если графики равномерного и равнопеременного движений на пространственно-Фазовое пространство временной диаграмме переменных X-t ничуть не сложнее своих фазовых портретов, то изображение гармонического колебания имеет на фазовой плоскости переменных Vx-X явные преимущества – например, компактность. Для нашего маятника фазовым пространством также будет плоскость «координата – скорость». Теперь, вместо того, чтобы рисовать и анализировать отдельно зависимости X (t) и V (t), Мы нарисуем только один график V (x) — фазовую траекторию.

Для определения вида фазовой траектории маятника исключим из исходных уравнений (2.02) переменную t. Для этого перепишем уравнения так: dV = – (ω^2) o*x*dt ; dx = V*dt А теперь разделим одно на другое и разделим в полученном новом уравнении переменные:

VdV = — (ω^2) o*x*dx (2.04)

Интегрируя и используя исходные обозначения, получим:

сохранения механической энергии(2.05) ,

где Е – константа интегрирования.

Видно, что получившееся соотношение есть не что иное, как закон сохранения механической энергии, а E — полная энергия системы. Это неудивительно, т.к. законы сохранения есть интегралы движения — следствия из уравнения движения. Теперь можно нарисовать фазовую траекторию. Но, для наглядности, сделаем еще одно преобразование полученного соотношения:

image006

(2.06)

Теперь хорошо видно, что получившаяся траектория — это приведенный к осям эллипс, определенный в фазовом пространстве V-x. Рис. 2.1 Рис. 2.2 Здесь на рис. 2.1 изображено семейство эллипсов. Они соответствуют фазовым траекториям множества маятников с различными значениями начальной энергии.

faz2

Координаты точки эллипса отмечают положение и скорость маятника в определенный момент времени. При желании этот момент можно вычислить, но здесь это не главное – важно, что удобно проследить эволюцию точки во времени на бесконечно большом отрезке времени – она перемещается по траектории против часовой стрелки (приближение к равновесию – увеличение скорости, отдаление от равновесия – уменьшение скорости, совсем не так, как при движении в поле гравитации или электростатического притяжения! Там действуют законы Кеплера – чем дальше, тем больше скорость, потому, что профиль потенциальной энергии гиперболический, а не параболический, как здесь Минутку терпения — чуть дальше это замечание проявится ярче. ). Траектории сконцентрированы, вокруг точки равновесия системы, «притягиваются» к ней, как к центру , но не пересекаются, поскольку задание начальных условий для динамической системы однозначно определяет ее эволюцию, как в прошлом, так и в будущем.

Точки на одном эллипсе соответствуют состоянию маятника в различные моменты времени. Видно как периодически со сдвигом фаз на π/2 изменяются координата и скорость маятника. Помня свойства гармонических колебаний, понимаем, что по любой из представ-ленных кривых система проходит за одно и то же время Т = 2π/ωo . Легко понять, что, используя полученный график, можно нарисовать зависимость V (t) или X (t). Первая из них представлена на Рис. 2.2. Она получается как проекция движущейся точки на ось V. Это знакомая нам синусоида. Отметим на будущее, что две системы с близкими начальными условиями будут двигаться по фазовой плоскости, всегда оставаясь рядом. Это означает, что если мы ошибемся немного, задавая или определяя начальные условия, то результаты наших расчетов будут близки к действительности. Да и реальная система, в случае слабого изменения параметров будет слабо изменять свое поведение.

Фазовый портрет при наличии затухания.

Введение затухания маятника изменяет вид первого из уравнений системы. Например, в случае вязкого трения, подчиняющегося закону Стокса, уравнение примет вид:

image008(2.07)

и решение системы уравнений математически станет сложнее. Однако, при качественном анализе легко понять, что введение затухания постоянно уменьшает значение полной энергии системы, а, следовательно, на фазовой диаграмме это выразится в постоянном уменьшении характерного размера эллипса с течением времени и уменьшении частоты колебаний — вместо каждого из эллипсов мы получим спирали, скручивающиеся к положению равновесия, притягивающему, «фокусирующему» все траектории. Это уже открытая диссипативная система. При больших значениях затухания энергия уходит из системы очень быстро — ее может не хватить даже на одно качание и далее маятник начнет останавливаться (см. Рис.2.3 и 2.4), устремляя траекторию к той же точке. Точка притяжения всех этих графиков так и называется – центр или фокус – данном случае она совпадает с началом координат.

faz3

Математический маятник.

Уравнение движения в векторной форме можно записать следующим образом:

image010(2.08)

image011


Из Рис.2.5 видно, что при движении направление силы T изменяется и поэтому запись уравнения осложняется. Если, однако, разложить вектор ускорения на нормальную и тангенциальную составляющие, то получим для них два уравнения:

image013

image014

(2.09)

Как видим, второе уравнение для нормальной составляющей позволяет определить силу натяжения как функцию времени, а первого достаточно для отыскания более интересующей нас сейчас зависимости величины скорости от времени V (t). Если теперь учесть и соотношение связи между угловой и линейной скоростями V = L (dФ/dt), то задачу определения динамической системы можно считать выполненной. Подлежащие решению дифференциальные уравнения нелинейны — одна из искомых функций Ф(t) входит в уравнение как аргумент тригонометрической функции. При рассмотрении малых колебаний в курсе общей физики мы использовали приближение SinФ ~ Ф и тогда уравнение движения имело вид, аналогичный уравнению движения пружинного маятника. В данном курсе больший интерес имеют для нас именно особенности нелинейного движения при не малых колебаниях, включая движение с вращением маятника вокруг точки подвеса. При этом необходимо сделать следующее замечание. Возможны, по крайней мере, две физические модели поведения маятника при больших амплитудах. Первая соответствует маленькому шарику на легкой нерастяжимой нити, вторая — шарику на легкой, но жесткой спице. Мы рассмотрим вторую модель. Какой дополнительный эффект поведения присущ первой модели? Ну, конечно же, отражения при рывках, после того как маятник зависает в верхней точке и затем свободно падает.

Как уже ясно из предыдущего примера, запись уравнения движения не столь необходима для получения формы фазовой траектории. Сразу запишем закон сохранения энергии:

faz4

Рисунок (Рис 2.6) поясняет процедуру получения выражения для потенциальной энергии.

image015

Немного преобразуем полученное соотношение:

faz5

Здесь введены обозначения:

faz6

где Eo — кинетическая энергия равномерно вращающейся материальной точки. Ясно, что здесь маятник вращается неравномерно, однако именно такая величина E/Eo есть безразмерный параметр такой системы.

Можно построить фазовую траекторию на плоскости Ф'-Ф численным расчетом, но попробуем сделать построения привлекая качественные рассуждения для анализа соотношения (2.11). Выделим несколько режимов движения, различающихся значением параметра или, что одно и то же, начальной энергией системы.

I. E = 0 Фазовая траектория — точка в начале координат.

II. E < Eo Это малые колебания и фазовые траектории представляют собой семейство эллипсов, такой же как и в предыдущем примере.

Интересно, однако, что если маятник имеет возможность вращаться вокруг точки подвеса, то подобные семейства эллипсов можно изобразить не только вокруг центра с координатой Ф = 0, но и вокруг других центров соответствующих координатам Ф = + 2π0; +4π и т.д.(то есть после того как сделан один оборот, два и т.д. При наличии затухания это очень важно – эллипсы превратятся в уменьшающиеся завитки) Рисунок ( Рис. 2.7) иллюстрирует сказанное:

image020

III. Е = 4Еo Основное уравнение можно переписать так:

faz7

Рассматриваемый случай соответствует достаточно большой энергии и значительным отклонениям от положения равновесия. Если ввести теперь в рассмотрение угол α, отсчитываемый от верхнего положения соотношением: Ф = π

/2 — α, то получим Cos (Ф/2) = Sin α. Тогда поскольку вблизи верхнего положения Sin α ~ α, а Ф' = — 2α', то уравнение приобретает вид:

image023

Решая это уравнение, получаем закон движения маятника:

image024


или, переходя к исходному отсчету углов:

image025

Для немалых углов a решение тоже может быть найдено, и оно имеет вид:

image027

(2.13)

Изобразим сначала график изменения во времени для этого необычного, неожиданного решения (Рис.2.8).

image026

Вообще говоря, ясно: маятник, при определенном значении начальной энергии медленно (бесконечно медленно!) взбирается к верхнему положению. Очевидно также, что это положение неустойчиво — при чуть меньшем значении начальной скорости он не дойдет до верхней точки, и будет совершать колебания с большой амплитудой, а при чуть большем значении — перейдет в режим вращательного движения (ротаций). Соответствующие движения также показаны на этом же рисунке.

Нужно очень точно подобрать начальную скорость — она единственна. Такого рода решения встречаются в некоторых уравнениях — они реализуются строго при одном наборе параметров. В нашем случае это решение называют кинк (англ. kink — перегиб, петля). С по-хожим случаем мы встречаемся в небесной механике, где параболической траектории тела, вокруг звезды соответствует строго одно, практически ненаблюдаемое, значение скорости, определяемое равенством кинетической и потенциальной энергии. При нарушении равенства, если кинетическая энергия тела больше потенциальной энергии взаимодействия, то тело вырвется и улетит от звезды по гиперболе. При меньшей кинетической энергии звезда захватывает тело на эллиптическую траекторию. Так и здесь – ошибки и флуктуации делают кинк практически не наблюдаемым.

Посмотрим, как будет выглядеть фазовая траектория для кинка. Достаточно провести анализ для значений угла Ф вблизи π (см. Рис. 2.9).

image028

Уравнение движения для этого случая имеет вид:

image029

или, для малых углов, проводя те же операции, как и при получении выражения (2.05), получим:

faz8

— это семейство равносторонних гипербол, отнесенных к осям. Эти семейства концентрируются вокруг точек +π/2; +3π/2 и т.д. Теперь Рис.2.7 претерпит новые изменения (Рис 2.10).

image033

А если маятник толкнуть сильнее (Е > 4Еo), то получим и фазовые траектории ротационного движения, при котором скорость изменяется от минимального для данных началь-ных условий значения, до соответствующего максимального. Это достаточно ясно и мы не станем останавливаться на математических подробностях. Теперь уже процесс построения полного фазового портрета можно считать законченным. Изобразим полный фазовый порт-рет ставшей еще более понятной нам известной системы (см. Рис.2.11).

image034

На фазовом портрете четко выделены две области: область I, соответствующая колебаниям вблизи точки равновесия. При малых энергиях колебания гармонические и изохронные, при увеличении энергии гармоничность нарушается и маятник движется все медлен-нее. На фазовой плоскости линейные и нелинейные движения выглядят очень похожими. Область II соответствует ротационному движению. С увеличением энергии колебания значения скорости уменьшаются. Фазовая траектория кинка разделяет эти области и, соответственно своей роли, называется сепаратрисой (англ. separate — разделять).

А теперь, когда основные идеи работы на фазовой плоскости Вам стали ясны, попробуйте изобразить фазовый портрет математического маятника с затуханием.

Подведем некоторые итоги:

1. В фазовом пространстве действительно одинаково удобно рассматривать как линейные, так и нелинейные динамические системы.

2. Анализ всего лишь нескольких примеров позволяет утверждать, что развитие системы с течением времени иногда происходит так, что фазовые траектории из определенных областей пространства концентрируются вокруг некоторых точек — система как бы притягивается к этим точкам в своем далеком будущем. Для различных областей начальных условий эти точки различные. Области имеют четкую границу – сепаратрису, именно эта траектория на фазовой плоскости соответствует кинку. При этом, заметно, например, в случае маятника, что если к точкам, соответствующим нижнему положению, траектории сходятся, то для верхнего положения траектории могут проходить как угодно близко к верхней точке равновесия, а затем уходят из этой точки — на фазовой плоскости ее называют «седло». Отмеченные нами точки в фазовом пространстве, притягивающие траекторию развивающейся динамической системы из прилегающего к ней пространства получили название аттракторы (attract — привлекать, притягивать (англ.), тот же корень в слове «аттракцион»). В зависимости от характера притяжения аттракторы имеют дополнительные имена «центр», «фокус», «седло» (см. Рис.2.12).

image035

Вы уже обратили, наверное, внимание на то, что аттрактор типа «центр» соответствует консервативной системе без потерь, а «фокус» — системе с потерями энергии (диссипативной системе). Подобные выводы могут позволить прогнозировать поведение на ранней. стадии анализа. А теперь, когда основные идеи работы с фазовой плоскостью стали ясны, попробуйте изобразить полный фазовый портрет математического маятника с затуханием.

Александр Александрович Князев


Хотите получать материалы на e-mail?