Теорема Колмогорова — Арнольда — Мозера (КАМ — теорема)

Рубрика : 4 курс, Хаос

Эту теорему сформулировал Комогоров в 1964 г. и потом последовательно доказана в начале 1960-х Арнольдом и Мозером.

Предположим, что некоторая (интегрируемая) гамильтонова функция H возмущена с помощью функции H1 следующим образом:

H = H0 (I) + H1 (I,Θ) (1),

где H1 должна быть периодической в исходных угловых переменных (то есть H1 (I,Θ + 2π) = H1 (I,Θ)) и в определенном смысле «достаточно мала» (то есть H1<<1).

Для большинства начальных условий Колмогоров наметил доказательство утверждения, что движение (1) остается преимущественно квазипериодическим, то есть ограничено торами.


КАМ теорема формулируется в предположении аналитичности гамильтониана в комплексной области Ω фазового пространства  и невырожденности невозмущенного движения, то есть

det = |∂2Ho/∂Ii∂Ij|≠0 (2),

Следующий шаг заключается в том, что бы в невозмущенной системе отыскать по соответствующему набору частот ω = ω(I) определенный тор T0. А именно выберем вектор несоизмеримых частот ω = ω* (то есть ω*κ ≠ 0, для всех целых κ) и зададим инвариантный тор T0 (ω*) невозмущенной системы уравнений I = I*, где ω(I*) = ω*. Таким образом, система характеризуется частотами ω* на T0 (ω*) и Θ ' = ω* есть линейный поток на торе T0.

Формулировка одного из варианта КАМ — теоремы.

Теорема. Если H1 достаточно мал, то практически для всех ω* существует такой инвариантный тор T (ω*) возмущенной системы, что T (ω*) «близок» к T0 (ω*).

Более подробно смотрите книгу М. Табор Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.



Хотите получать материалы на e-mail?